สเปซของเวกเตอร์คือสนามที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ ซึ่งไม่ได้ถูกนิยามจากธรรมชาติของวัตถุ แต่ถูกกำหนดโดยพฤติกรรมของวัตถุเหล่านั้น ไม่ว่าคุณจะทำงานกับลูกศรใน $\mathbf{R}^n$ เมทริกซ์ใน $\mathbf{M}$ หรือฟังก์ชันต่อเนื่อง เงื่อนไขเดียวกันก็ใช้ได้
กฎเกณฑ์แปดประการของสเปซ
กลุ่มวัตถุใดๆ จะเป็นเวกเตอร์สเปซก็ต่อเมื่อปฏิบัติตามกฎพื้นฐานเหล่านี้
- 1. สมบัติการสลับที่: $x + y = y + x$
- 2. สมบัติการจัดกลุ่ม: $x + (y + z) = (x + y) + z$
- 3. เวกเตอร์ศูนย์: มีเวกเตอร์ $0$ ที่เฉพาะเจาะจง ซึ่งทำให้ $x + 0 = x$ เป็นจริง
- 4. ตัวผกผัน: สำหรับแต่ละ $x$ จะมี $-x$ ที่เฉพาะเจาะจง ซึ่งทำให้ $x + (-x) = 0$ เป็นจริง
- 5. สมบัติเอกลักษณ์: $1x = x$
- 6. สมบัติการจัดกลุ่มของสเกลาร์: $(c_1c_2)x = c_1(c_2x)$
- 7. สมบัติการแจกแจง (1): $c(x + y) = cx + cy$
- 8. สมบัติการแจกแจง (2): $(c_1 + c_2)x = c_1x + c_2x$
การนิยามสับสเปซ
สับสเปซ $S$ ของ $V$ คือเซตย่อยที่ปิดภายใต้การดำเนินการของสเปซใหญ่ คุณไม่สามารถหลุดออกนอกเซตนี้ได้โดยการรวมสมาชิกหรือการคูณด้วยสเกลาร์
ทฤษฎีบทการปิด
เซตย่อย $S$ เป็นสับสเปซก็ต่อเมื่อสำหรับทุก $v, w \in S$ และทุกสเกลาร์ $c, d$:
$$cv + dw \in S$$
ซึ่งหมายความว่า $S$ ต้องมีเวกเตอร์ศูนย์ ($0 \in S$) เพราะ $0v = 0$การขยายและการรวม
การ ขยาย ของการขยายของเซต $S$ คือสับสเปซที่เล็กที่สุดที่ครอบคลุมเวกเตอร์ทั้งหมดใน $S$:
$$SS = \text{ทุก } c_1v_1 + \dots + c_nv_n$$
นอกจากนี้ เมื่อมีสับสเปซสองชุด $S$ และ $T$ แล้ว การ รวม $S + T$ (ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์ทุกตัว $s+t$) จะสร้างสับสเปซใหม่ โปรดสังเกตว่า ยูเนียน $S \cup T$ แทบจะไม่เคยเป็นสับสเปซเลย!
🎯 การทดสอบลิทมัส 'ศูนย์'
วิธีที่เร็วที่สุดในการตัดชื่อเซตย่อยออกจากข้อเสนอว่าเป็นสับสเปซ คือการตรวจสอบว่ามีเวกเตอร์ศูนย์หรือไม่ ถ้า $x=0$ ไม่ได้อยู่ในเซต แสดงว่ามันไม่สามารถเป็นสับสเปซได้ ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย ได้แก่ ระนาบที่เลื่อนห่างจากจุดกำเนิด หรือสี่เหลี่ยมที่ไม่รวมค่าลบ